分析標準砝碼的因式分解

如果天平兩端都允許放砝碼，并且假定所有的砝碼都是整數克。為了稱出從 1 克到 40 克 所有整數克 的物品，zui少需要幾個砝碼？

感興趣的讀者不妨自己先試著想想，再往下看。

秘密在于 3 的冪
說起來這個問題歷史還算是挺悠久的。據《數學游戲與欣賞》（ [英] 勞斯·鮑爾 [加] 考克斯特 ，楊應辰等 譯），這個問題被稱作巴協 （Bachet） 砝碼問題；而據《數學聊齋》（王樹禾），該問題至少可追溯到 17 世紀法梅齊里亞克 （Meziriac, 1624） 。他們給出的答案是：

zui少需要 4 個標準砝碼，規格分別為 1 克、3 克、9 克和 27 克。
例如，為了稱出 2 克的物品，我們只需在天平端放 3 克砝碼，在另端放上 1 克的砝碼；而要稱出 7 克的物品，則可以在端放上 1 克和 9 克的砝碼，另端放上 3 克的砝碼。

類似地，要稱出 1 克到 4 克中所有整數克的物品，只需要 2 個砝碼；要稱出 1 克到 13 克中所有整數克的物品，則只需要 3 個砝碼；要稱出 1 克到 121 克中所有整數克的物品則要 5 個砝碼，它們分別是 1 克、3 克、9 克、27 克和 81 克，如此等等。

也許有人已經心領神會了，但是如果就此滿足而匆匆離去的話，可能就錯失了個領略數學思想的機會——問題到這里并未結束啊！例如，4 個砝碼究竟是不是zui少的？還有沒有其他的組合？對這些疑問的個*的分析和說明，是 19 世紀由麥克馬洪 （MacMahon） 給出的。下面就來領略下其中的思想吧，或許你會從中學到很多。

標準砝碼因式分解的妙用
假設有個重為 a 克的砝碼，那么用它自然能夠稱出 0 克和 a 克的物品。不過，如果虛設天平的某端為正的話，利用此天平和砝碼我們還能稱出 - a 克的物品——不妨規定把 a 克砝碼放在天平右側，將物品放在天平左側，由此可以稱出 a 克的物品；但若把 a 克砝碼放在天平左側，把物品放在天平右側，由此稱出的物品重量記作 - a。目前這樣種設想有點怪異，但這實際上和人類引入負數的思想是相同的。很快家便會發現，這種設定非常精妙地簡化了我們的計算和推導。現在暫且把該砝碼能夠稱出的重量 - a，0，a 放個表達式中：

現在，假設有兩個不同規格的砝碼，分別重 a 克和 b 克（a

可以看到，它不是別的，正好是

的展開式。

另外，假設有 m 個同樣重為 a 克的砝碼，則可以稱出 - ma，- （m - 1）a，…，0，…，（m - 1）a，ma 克的物品。暫且按照上面的辦法，把這些數也塞個表達式中 ：

結合上面的分析，容易看出，如果有 m 個 a 克的砝碼，n 個 b 克的砝碼，等等，那么可以稱出物品的克數就是表達式

展開后出現過的那些 x 的冪數，而展開式中 x 的 i 次項系數就表示用給定的這組砝碼稱出 i 克物品的不同方法數。

如果要稱出 1 到 40 中所有的整克數，并且要求所用的砝碼盡可能少，我們自然希望這些砝碼能夠“物盡其用”，稱出的克數正好都是我們需要的克數，并且稱的方法都是*的。也就是說，上述表達式展開后應該恰好是

反過來，就是要把還原成的形式。對這個式子行分解，共有八種不同的方案：

前四個式子展示了我們實際上是如何對原式行逐步分解的。它們的意義依次為：（1） 40 個 1 克的砝碼；（2） 1 個 1 克，13 個 3 克的砝碼 ；（3） 1 個 1 克，1 個 3 克以及 4 個 9 克的砝碼；（4） 1 個 1 克，1 個 3 克，1 個 9 克以及 1 個 27 克的砝碼。其中，四個分解式是zui基本的，它就是我們想要的答案。

當然我們還要說明，除了上面列舉的 8 種組合之外沒有其他的組合。這是個多少有些復雜的討論，不過我們可以就此為止了，因為上面的分解式看起來應該明顯含了所有可能的分解。zui少的那組已經明擺著了，無須再說。家可以到 死理性派小組 參與更詳細的討論。

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