如果天平兩端都允許放砝碼

 如果天平兩端都.允許放砝碼，并且假定所有的砝碼都是整數克。為了稱出從1克到40克所有整數克的物品，少需要幾個砝碼?感興趣的讀者不妨自己先試著想想，再往下看。

秘密在于3的冪

說起來這個問題歷史還算是挺悠久的。據《數學游戲與欣賞》([英]勞斯.鮑爾[加]考克斯特，楊應辰等譯)，這個問題被稱作巴協(Bachet) 砝碼問題;而據《數學聊齋》(王樹禾)，該問題至少可追溯到17世紀法梅齊里亞克(Meziriac， 1624) 。 他們給出的答案是:

少需要4個砝碼，規格分別為1克、3克、9克和27克。

例如，為了稱出2克的物品，我們只需在天平- -端放3克砝碼，在另- -端放上1克的砝碼;而要稱出7克的物品，則可以在端放上1克和9克的砝碼，另端放上3克的砝碼。

類似地，要稱出1克到4克中所有整數克的物品，只需要2個砝碼;要稱出1克到13克中所有整數克的物品，則只需要3個砝碼;要稱出1克到121克中所有整數克的物品則要5個砝碼，它們分別是1克、3克、9克、27克和81克，如此等等。

也許有人已經心領神會了，但是如果就此滿足而匆匆離去的話，可能就錯失了- -個領略數學思想的機會--問題到這里并未結束啊!例如，4個砝碼究竟是不是少的?還有沒有其他的組合?對這些疑問的個*的分析和說明，是19世紀由麥克馬洪MacMahon) 給出的。下面就來領略下其中的思想吧， 或許你會從中學到很多。


因式分解的妙用

假設有個重為a克的砝碼，那么用它自然能夠稱出0克和a克的物品。不過，如果虛設天平的某端為正的話，利用此天平和砝碼我們還能稱出- a克的物品不妨規定把a克砝碼放在天平右側，將物品放在天平左側，由此可以稱出a克的物品:但若把a克砝碼放在天平左側，把物品放在天平右側，由此稱出的物品重量記作-a。目前這樣-種設想有 點怪異，但這實際上和人類引入負數的思想是相同的。很快家便會發現，這種設定非常精妙地簡化了我們的計算和推導。現在暫且把該砝碼能夠稱出的重量a, 0, a放個表達式中: x*+1+x

現在，假設有兩個不同規格的砝碼，分別重a克和b克(a<b)。按照上面的規定，我們可以稱出-a-b，-b，-a，a-b,0,b-a,a,b,a+b。例如，為了稱出b-a，只需要把b克的砝碼放在右端，物品和a克的砝碼放在左端;按照上面的約定，如果天平平衡，物品就是b-a克。而要稱出a- b，則把b克砝碼放在左端，a克砝碼和物品放在右端，如果平衡則物品是a - b克。同樣地，把這些數塞個表達式: x8 0 +x° +x~*+x-b+1+xb-a+x+x+x"a+b

可以看到，它不是別的，正好是(x=+1+x)(x*+1+x)的展開式。.


另外，假設有m個同樣重為a克的砝碼，則可以稱出- ma, - (m- 1)a，，，0, .,,的物品。暫且按照上面的辦法，把這些數也塞個表達式中 :

(m - 1)a，ma克

x-ma +x-(m-1)a...+1+...+x(m-1)a+ xma

結合，上面的分析，容易看出，如果有m個a克的砝碼，n個b克的砝碼，等等，那么可以稱出物品的.克數就是表達式(x-ma....+...+.*)(x-na +..+1 +..+02)..

展開后出現過的那些x的冪數，而展開式中x的i次項系數就表示用給定的這組砝碼稱出i克物品的不同方法數。

如果要稱出1到40中所有的整克數，并且要求所用的砝碼盡可能少，我們自然希望這些砝碼能夠“物盡其用”，稱出的克數正好都是我們需要的克數，并且稱的方法都是唯- -的。也就是說，上述表達式展開后應該恰好是x40 +x,- 35+...+...+.39+ x40

反過來，就是要把40+3.+...+...+*x39+x*0

還原成(Xa +...+1 ...+-")(x na ...+..+*.*).... 的形式。